Busqueda

viernes, 13 de agosto de 2010

Las contribuciones de Neper


John Napier (Neper) (1550-1617) fue un matemático escoces que hizo grandes contribuciones al cálculo, dentro de ellas podemos destacar:
  • El descubrimiento de los logaritmos.
  • La invención del ábaco neperiano.
  • La invención del ábaco de fichas.

Fig. I. 8. John Napier (Neper).

Los logaritmos

En el año de 1614 Neper público su obra llamada Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio en la cual dio a conocer lo que él llamaba números artificiales y que posteriormente se conocerían como logaritmos.

Este libro atrajo inmediatamente la atención de los matemáticos de su tiempo, debido sobre todo, a que el empleo de los logaritmos facilita la resolución de cálculos matemáticos muy complejos ya que permite sustituir las multiplicaciones por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por divisiones.

Los logaritmos contribuyeron al avance de la ciencia, en especial de la astronomía, representativo de esto es la afirmación de Pierre Simón Laplace:

Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos.


Ábaco neperiano

A finales de 1617 Neper publicó su obra titulada Rabdologiæ seu numerationis per virgulas libri duo en la que describe un instrumento de cálculo — conocido comúnmente como ábaco neperiano — que permite reducir los productos a sumas y los cocientes a restas.

El ábaco neperiano consiste en un tablero con reborde sobre el cual se colocan un conjunto de varillas rectangulares móviles que colocadas adecuadamente sirven para facilitar la multiplicación  usando el sistema de numeración indo-arábico (ver Fig. I. 9).

(a)
(b)
Fig. I. 9. Ábaco neperiano: (a) un ejemplar construido en madera (b) diagrama en el que se distinguen claramente el tablero y un juego de varillas.

La orilla izquierda del reborde, funciona como una varilla fija y está dividida en 9 casillas iguales cada una de las cuales contiene un dígito del 1 al 9, comenzando con el uno en la parte superior y finalizando con el 9 en la casilla inferior.

Un juego de varillas está compuesto por 10, una para cada dígito del 0 al 9.

La cara frontal de cada varilla está dividida en 9 casillas cuadradas. La casilla superior se deja tal cual y las ocho restantes se dividen en mitades por medio de un trazo diagonal.

En la casilla superior se coloca el dígito al que corresponde la varilla y en las siguientes se escribe el resultado de la multiplicación del dígito por 2, 3,…, 9, respectivamente. Los dígitos resultantes del producto se escriben uno a cada lado de la diagonal y en el caso de aquellos productos menores que 10 se utiliza un cero a la izquierda, tal como se muestra en la Fig. I. 10.

Fig. I. 10. Varilla de Neper correspondiente al dígito 2.

Atendiendo a su forma, a su función o al material con que está construido, al ábaco neperiano ha sido también conocido con otros nombres como:
  • Varillas o regletas de Neper.
  • Huesos de Neper (Napier’s bones en inglés). En los más antiguos, las varillas estaban hechas con hueso o marfil.
  • Ábaco rabdológico. Del griego rabdos, varilla y logos, tratado.
  • Tablas de multiplicar de Neper. Debido a que su función principal es facilitar la multiplicación y como consecuencia otras operaciones como la división y, en usos más avanzados, la extracción de la raíz cuadrada.

Por ser económico, confiable y preciso, este instrumento de cálculo tuvo un gran éxito en Europa hasta comienzos del siglo XX.

Multiplicación

En esta sección se explicará el uso del ábaco neperiano para calcular productos.

Producto de un número de varias cifras por otro de una sola

Supongamos que queremos multiplicar el número 37694287 por 8, procedemos como sigue:
  1. Colocamos sobre el tablero las varillas necesarias para formar el número 37694287, tal como se muestra en la Fig. I. 11.
  2. El producto se obtiene sumando — con acarreo — los elementos en diagonal, de la franja horizontal correspondiente a la casilla 8 de la varilla fija.
Fig. I. 11. Usando el ábaco neperiano para obtener el producto 37694287 por 8.

Como puede verse, para obtener el producto solo se requiere de algunas sumas sencillas.

Producto de dos números de varias cifras

Supongamos ahora que queremos obtener el producto de 37694287 y 98542.

Tomando como referencia el ejemplo anterior, hacemos lo siguiente:

  1. Obtenemos los productos parciales de 37694287 por cada uno de los dígitos de 98542.
  2. Colocamos adecuadamente los productos obtenidos en el paso 1 y sumamos.
  3. Con esto obtenemos el producto buscado.

Fig. I. 12. Usando el ábaco neperiano para obtener el producto 37694287 por 98542.

Usando este instrumento, se pueden calcular los productos de números de una gran cantidad de cifras siempre y cuanto se cuente las varillas necesarias para hacerlo.

División

Para explicar la división usaremos el siguiente ejemplo: Supongamos que queremos dividir 39705397 entre 76953.
Fig. I. 13. Ejemplo de división usando el ábaco neperiano.

El procedimiento se ilustra gráficamente en la Fig. I. 13. Ponerlo en palabras no resulta tan sencillo, mi intento es el siguiente:
  1. Mediante el ábaco neperiano calculamos el producto del divisor — 76953 — con cada uno de los dígitos del 1 al 9. Obtenemos 9 productos a los cuales podemos llamar productos parciales.
  2. Exploramos el dividendo — 39705397 — de izquierda a derecha hasta encontrar el primer conjunto de dígitos que formen un número mayor que el divisor, por el momento discriminamos los dígitos restantes.
  3. En esta ocasión el número del que hablamos resulta ser 397053.
  4. Dentro de los productos parciales seleccionamos aquel que sea menor y más cercano al número encontrado en el paso 2.
  5. En el caso que nos ocupa es: 384765.
  6. Escribimos en el cociente el dígito por el que está multiplicado el divisor para dar el número hallado en el paso 3. Este dígito es más significativo que los que se hallen en las siguientes etapas de la solución.
  7. En nuestro ejemplo, el dígito más significativo del cociente es 5 ya que 76953 x 5 = 384765.
  8. Tomando como minuendo el número encontrado en el paso 2 y como sustraendo el hallado en el paso 3 realizamos la sustracción indicada.
  9. En nuestro problema esta operación queda así: el sustraendo es 397053, el minuendo 384765 y la diferencia 12288.
  10. A la diferencia obtenida en el paso 5, le agregamos a la derecha el dígito que se encuentra más a la izquierda de aquellos que se discriminaron en el paso 2.
  11. Nuestro nuevo número resulta ser 122889.
  12. Si el número hallado en el paso 6 es menor que el divisor se escribe un cero en la parte derecha del cociente y se agrega a nuestro número otro más de los dígitos discriminados.
  13. Con las adecuaciones pertinentes, se ejecuta repetidamente el proceso desde el paso 2, hasta que hayamos incluido todos los dígitos discriminados.
  14. En este punto ya habremos encontrado nuestro cociente y nuestro residuo.



Ábaco de fichas

Además del ábaco descrito arriba, Neper también inventó otro ábaco de fichas que es una ampliación del anterior.

En el Museo Arqueológico Nacional de España se conserva un instrumento que reúne ambos ábacos: el de varillas (descrito anteriormente) y el de fichas.

Él ábaco de fichas está constituido por 300 fichas de marfil con pequeñas perforaciones triangulares que solo permiten ver las cifras convenientes del ábaco de varillas. Con este aparato se pueden realizar multiplicaciones de números de hasta doscientas cifras en cada uno de los factores.
Fig. I. 14. Ábacos neperianos conservados en el Museo Arqueológico Nacional de España.

No hay comentarios:

Publicar un comentario