La pascalina

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En 1642, cuando tan solo tenía 19 años, el matemático y filósofo francés Blaise Pascal (1623 — 1662), concibió una máquina sumadora que posteriormente sería conocida como la Pascalina.

Fig. I. 22. Blaise Pascal.

Este aparato fue el primer dispositivo sumador mecánico con un propósito práctico ya que, fue construida por Blaise para ayudar a su padre, Etienne Pascal, un recaudador de impuestos, en la tediosa actividad de sumar y restar largas secuencias de números.

Físicamente, la pascalina era una caja rectangular de madera con ruedas dentadas, las cuales representaban de derecha a izquierda, las unidades, las decenas, las centenas y así sucesivamente. El primer prototipo contenía sólo 5 ruedas,  posteriormente fueron construidas unidades con 6 y hasta con 8 de ellas.

Fig. I. 23. Pascalina en el Museo de Artes y Oficios de París.

Las ruedas tenían diez dientes que representaban, de manera respectiva, los dígitos del 0 al 9. Eran accionadas por una manivela y el mecanismo interno estaba hecho de tal manera que cada vez que una rueda daba una vuelta completa, la que estaba a su izquierda avanzaba un décimo de vuelta, así que, podía sumarse una cantidad cualquiera haciéndolas girar el número de dientes correcto.

Como puede deducirse de la explicación anterior la pascalina funcionaba por el principio de adición sucesiva, se introduce así, el concepto de saldo o resultado acumulativo que se sigue usando hasta nuestros días. Dicho resultado era mostrado por la máquina, listo para ser leído.

La resta se llevaba a cabo mediante la aplicación de una técnica engorrosa basada en la adición del complemento a 9.

Este invento atrajo mucha atención en esos días, sin embargo, no consiguió una amplia aceptación debido a que era cara, poco confiable y de difícil fabricación y uso. Para 1652 se habían construido alrededor de 50 unidades, pero se habían vendido menos de 15, no importando que, en 1649 se le había otorgado a Pascal un Privilegio real (similar a una patente actual) que le concedió derechos exclusivos para hacer y vender calculadoras en Francia.

Pascal no tuvo conocimiento de la máquina de Schickard y su solución no fue ni tan elegante ni tan eficiente como aquella. Refiriéndose a este hecho Paul E. Dune dijo:

De haber encontrado las ideas de Schickard una amplia difusión, la máquina de Pascal no hubiera sido inventada.

A pesar de los inconvenientes antes mencionados, la pascalina tuvo una gran repercusión en los años siguientes, ya que varias personas construyeron máquinas calculadoras basadas en su diseño.

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El reloj calculador de Schickard

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En el año de 1623 Wilhelm Schickard (1592 — 1635), un famoso matemático alemán, creó una máquina calculadora automática a la que llamó el reloj calculador. Fue la primera de la historia en ser construida ya que aunque anteriormente Leonardo da Vinci ya había diseñado una maquina sumadora, esta no llegó a materializarse.

Fig. I. 19. Wilhelm Schickard.

El reloj calculador no tuvo influencia en el desarrollo de las posteriores calculadoras mecánicas ya que por tres siglos permaneció desconocido para el mundo. Fue hasta 1957 cuando el historiador Franz Hammer, descubrió dentro de la correspondencia que Schickard mantuvo con su amigo el gran astrónomo Johannes Kepler, una serie de cartas en las cuales se describía esta máquina.

En la carta fechada el 20 de septiembre de 1623 Schickard dice a Kepler:

Lo que haces tú con el cálculo manual, lo he intentado yo hace poco pero mecánicamente……… He construido una máquina que cuenta inmediata y automáticamente los números dados, suma, multiplica y divide...... Estoy seguro que vas a estallar de alegría, cuando veas cómo transporta lo que se lleva de las decenas o centenas o cómo lo descuenta en las sustracciones...

En la carta del 25 de febrero de 1624, incluyó dibujos en los que ilustraba la construcción del aparato.

 Fig. I. 20. Dibujos originales del reloj calculador de Schickard.

Hoy se sabe que Schickard estaba realizando una de estas máquinas para Kepler, pero antes de que estuviera terminada, se destruyó en un incendio, De las otras que fabricó no se sabe nada, tal vez aún se pudieran encontrar abandonadas en alguna construcción antigua o quizá fueron destruidas después de la muerte del científico.

El reloj calculador podía realizar, por medios puramente mecánicos, las cuatro operaciones aritméticas elementales, con acarreos y manejando números hasta de seis dígitos cada uno. La multiplicación y la división eran efectuadas por medio de cilindros concebidos siguiendo los principios de las regletas de Neper.

Tomando como base los bocetos que Schickard envió a Kepler, se han creado varias réplicas del aparato y todas han funcionado correctamente.

Fig. I. 21. Réplica del reloj calculador.

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Regla de cálculo

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Hacia 1621 William Oughtred, uno de los grandes matemáticos ingleses de la época, amigo de Gunter y Napier, superpuso las escalas de dos líneas de Gunter creando así la primera Regla de cálculo.

El nuevo arreglo, agilizaba la realización de las operaciones de multiplicación y división, pues estás se reducían a desplazar una escala sobre la otra, tal como se ejemplifica en la Fig. I. 17

 Fig. I. 17. Multiplicación usando dos Líneas de Gunter superpuestas.

En la figura se ilustra la multiplicación, pero de manera equivalente se pudiera decir que los valores de la escala superior son el resultado de los correspondientes valores de la escala inferior divididos por 1.5. La explicación para que se dé esta “magia” se encuentra en las identidades:

log (a) + log (b) = log (a*b) 

log (a) - log(b) = log (a/b)

En los tres siglos y medio posteriores a su invención, la regla de cálculo evolucionó y se popularizó.

Al principio, la difusión fue lenta, debido principalmente a las particularidades del sistema inglés de medidas, no fue sino hasta principios del siglo XIX que comenzó a conocerse fuera de Inglaterra, primero en Francia, luego en Alemania y finalmente a comienzos del siglo XX su uso en el ámbito estudiantil y profesional estaba muy generalizado.

Durante el largo proceso de evolución se crearon muchos modelos, algunos de los cuales no pasaron de ser meros prototipos, otros en cambio, gozaron de cierta popularidad.

Al comienzo, las reglas de cálculo eran productos artesanales, fabricados en pequeñas cantidades y en muchas de las ocasiones eran ejemplares únicos, las partes y escalas que incorporaban dependían de los cálculos que acostumbraba hacer el inventor o el artesano que las construía. Conforme fueron aumentando los conocimientos técnicos y científicos, así como la industrialización, surgieron criterios más o menos uniformes sobre las partes y escalas que debían incluir, este hecho impulso su producción de manera industrial.

En la Fig. I. 18, se muestra la fotografía de una regla de cálculo de uso estudiantil de finales del siglo XX.

Fig. I. 18. Regla de cálculo de uso estudiantil.

En este modelo en particular se observan los siguientes componentes:

• Soporté básico o cuerpo. En este caso se trata de dos regletas independientes (superior e inferior) unidas firmemente en los extremos por medio de abrazaderas. En ellas se encuentran grabadas diversas escalas
• Corredera. Regleta móvil, que se desplaza en la ranura que forman las regletas del soporte básico. También tiene escalas grabadas.
• Cursor e hilo. El cursor es una pieza móvil transparente que abarca las tres regletas. Lleva grabada una línea de referencia llamada hilo, índice o retículo. Este conjunto sirve para facilitar la alineación y la lectura de los factores que intervienen en las operaciones sobre todo si las escalas se encuentran alejadas entre sí.

A lo largo de la historia se fabricaron modelos con varias regletas móviles.

Los modelos en los cuales las regletas solo estaban grabadas en la cara frontal se llamaban Simplex, las que lo estaban por ambas caras se llamaban Duplex.

Las diferentes escalas se identificaban con letras, aunque este criterio no llegó a ser completamente uniforme estaba bastante aceptado por diversos fabricantes. En la siguiente tabla se describen las escalas más comunes:

Designación	Descripción	Valor
A	Escala de cuadrados; escala logarítmica de dos decenas situada en el borde inferior de la regleta fija superior	x2
B	Escala de cuadrados, escala logarítmica de dos decenas, situada en el borde superior de la regleta móvil	x2
C	Duplicado de la escala básica; escala logarítmica de una decena, situada en el borde inferior de la regleta móvil	x
D	Escala básica; escala logarítmica de una decena, situada en el borde superior de la regleta fija inferior	x
K	Escala de cubos; escala logarítmica de tres decenas	x3
CI	Escala C "invertida", numerada de derecha a izquierda; escala de recíprocos	1/x
CF	Escala C "desplazada"; su origen es un valor constante distinto de la unidad, generalmente pi o algún submúltiplo suyo	(pi) * x
S	Escala de ángulos de senos.	sen-1 x
T	Escala de ángulos de tangentes	cos-1 x
ST	Escala de senos y tangentes de ángulos pequeños (0,58º a 5,73º); conversiones grado-radian	arc x
L	Escala lineal usada para obtener las mantisas de los logaritmos comunes o decimales (base 10)	log x
Ln	Escala lineal utilizada para la obtención de los logaritmos naturales (base e)	ln x
LLn	Conjunto de escalas doblemente logarítmicas (log-log), utilizadas para las operaciones con exponentes. Pueden tener cualquier base (aunque usualmente sea el número e) y son absolutas (no requieren estimación de la posición del punto decimal).	n

Las escalas incluidas varían de un modelo a otro. Cuando se trata de modelos muy especializados (por ejemplo para estadística, ingeniería eléctrica, etc.) no usan algunas de las anteriores y en su lugar incorporan otras que son adecuadas para los cálculos más comunes de esa especialidad.

Para poder usar adecuadamente una regla de cálculo es necesario conocer a fondo las funciones y significado de sus escalas, esto no es mayor problema para las básicas pero en el caso de aquellas que son muy especializadas es necesario leer el manual de referencia. Otro requisito indispensable es dedicarle tiempo a practicar para ganar experiencia en la lectura de los valores. También se debe poner mucha cuidado al operar ya que comúnmente las regletas tienen muchas escalas y es necesario estar muy atentos para no confundir una con otra.

Tal como ocurre con otros instrumentos gráficos, la precisión que puede conseguirse con este instrumento es limitada y depende principalmente de la precisión con que están hechas las marcas en las escalas, de la facilidad con que puedan alinearse y de la experiencia del usuario.

Las reglas de cálculo se utilizaron ampliamente en profesiones que requieren la realización de muchos cálculos hasta mediados de la década de 1970-1980 en la que cayeron en desuso por la popularización de las calculadoras electrónicas de bolsillo.

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Escala de Gunter

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Edmund Gunter (1581-1626), matemático ingles de ascendencia galesa, fue el primero que en ideó una forma de representar los logaritmos en una escala lineal graduada, comúnmente conocida como Línea de números o Línea de Gunter. Dio a conocer el invento en su libro Canon Triangulorun publicado en 1620.

En la siguiente figura se ilustra el procedimiento que probablemente siguió para llegar a esa representación.

Fig. I. 15

En la parte superior se muestra una línea ordinaria graduada, similar a las reglas que comúnmente usamos.

En la parte media se observa una línea graduada con los valores de los logaritmos decimales de los números de la primera línea, básicamente se está representando la función:

y = log x

haciendo corresponder el 1 con 10 unidades de la primera línea. En la figura, las etiquetas corresponden a los valores de log x y más abajo, en un color más tenue se han escrito los valores de x a los que pertenecen.

Como para los cálculos, lo único que interesa es el espaciamiento relativo de los valores podemos volver a etiquetar la línea con los valores de x, tal como se muestra en la línea de la parte inferior de la figura, esta es la llamada Línea de Gunter. 

Con base en las siguientes identidades logarítmicas:

log (a) + log (b) = log (a*b) 

log (a) - log(b) = log (a/b)

y con la ayuda de la línea de Gunter, la multiplicación y la división de dos números se reduce a la suma (para la multiplicación) o la resta (para la división) de los segmentos de línea correspondientes.

Gunter hizo muchas invenciones útiles. En una ellas, conocida como la Escala de Gunter, Regla de Gunter o simplemente El Gunter, incorporó escalas creadas como se explicó arriba.

Se trata de una larga escala, comúnmente de 2 pies de longitud por aproximadamente 1 y media pulgadas de ancho, graduada con diferentes escalas o líneas.

Por un lado se colocaban las llamadas líneas naturales (como la línea de cuerdas, la línea de los senos, tangentes, etc.) y en el otro lado las correspondientes líneas artificiales o logarítmicas (líneas de Gunter).

Fig. I. 16. Fotografía de una escala de Gunter.

La medición de los segmentos se hacía por medio de un par de compases y como era de esperarse, la precisión de los resultados era limitada ya que dependía de la precisión con que fuera construido el instrumento, y de la habilidad del usuario para medir los segmentos correspondientes a los valores que intervenían en las operaciones.

La escala de Gunter tuvo amplia aplicación en el ámbito mercantil y marítimo, por ejemplo con este instrumento, los marineros podían resolver problemas de navegación y de trigonometría. Es considerado un predecesor de la Regla de cálculo.

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Las contribuciones de Neper

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John Napier (Neper) (1550-1617) fue un matemático escoces que hizo grandes contribuciones al cálculo, dentro de ellas podemos destacar:

• El descubrimiento de los logaritmos.
• La invención del ábaco neperiano.
• La invención del ábaco de fichas.

Fig. I. 8. John Napier (Neper).

Los logaritmos

En el año de 1614 Neper público su obra llamada Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio en la cual dio a conocer lo que él llamaba números artificiales y que posteriormente se conocerían como logaritmos.

Este libro atrajo inmediatamente la atención de los matemáticos de su tiempo, debido sobre todo, a que el empleo de los logaritmos facilita la resolución de cálculos matemáticos muy complejos ya que permite sustituir las multiplicaciones por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por divisiones.

Los logaritmos contribuyeron al avance de la ciencia, en especial de la astronomía, representativo de esto es la afirmación de Pierre Simón Laplace:

Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos.

Ábaco neperiano

A finales de 1617 Neper publicó su obra titulada Rabdologiæ seu numerationis per virgulas libri duo en la que describe un instrumento de cálculo — conocido comúnmente como ábaco neperiano — que permite reducir los productos a sumas y los cocientes a restas.

El ábaco neperiano consiste en un tablero con reborde sobre el cual se colocan un conjunto de varillas rectangulares móviles que colocadas adecuadamente sirven para facilitar la multiplicación  usando el sistema de numeración indo-arábico (ver Fig. I. 9).

(a)

(b)

Fig. I. 9. Ábaco neperiano: (a) un ejemplar construido en madera (b) diagrama en el que se distinguen claramente el tablero y un juego de varillas.

La orilla izquierda del reborde, funciona como una varilla fija y está dividida en 9 casillas iguales cada una de las cuales contiene un dígito del 1 al 9, comenzando con el uno en la parte superior y finalizando con el 9 en la casilla inferior.

Un juego de varillas está compuesto por 10, una para cada dígito del 0 al 9.

La cara frontal de cada varilla está dividida en 9 casillas cuadradas. La casilla superior se deja tal cual y las ocho restantes se dividen en mitades por medio de un trazo diagonal.

En la casilla superior se coloca el dígito al que corresponde la varilla y en las siguientes se escribe el resultado de la multiplicación del dígito por 2, 3,…, 9, respectivamente. Los dígitos resultantes del producto se escriben uno a cada lado de la diagonal y en el caso de aquellos productos menores que 10 se utiliza un cero a la izquierda, tal como se muestra en la Fig. I. 10.

Fig. I. 10. Varilla de Neper correspondiente al dígito 2.

Atendiendo a su forma, a su función o al material con que está construido, al ábaco neperiano ha sido también conocido con otros nombres como:

• Varillas o regletas de Neper.
• Huesos de Neper (Napier’s bones en inglés). En los más antiguos, las varillas estaban hechas con hueso o marfil.
• Ábaco rabdológico. Del griego rabdos, varilla y logos, tratado.
• Tablas de multiplicar de Neper. Debido a que su función principal es facilitar la multiplicación y como consecuencia otras operaciones como la división y, en usos más avanzados, la extracción de la raíz cuadrada.

Por ser económico, confiable y preciso, este instrumento de cálculo tuvo un gran éxito en Europa hasta comienzos del siglo XX.

Multiplicación

En esta sección se explicará el uso del ábaco neperiano para calcular productos.

Producto de un número de varias cifras por otro de una sola

Supongamos que queremos multiplicar el número 37694287 por 8, procedemos como sigue:

1. Colocamos sobre el tablero las varillas necesarias para formar el número 37694287, tal como se muestra en la Fig. I. 11.
2. El producto se obtiene sumando — con acarreo — los elementos en diagonal, de la franja horizontal correspondiente a la casilla 8 de la varilla fija.

Fig. I. 11. Usando el ábaco neperiano para obtener el producto 37694287 por 8.

Como puede verse, para obtener el producto solo se requiere de algunas sumas sencillas.

Producto de dos números de varias cifras

Supongamos ahora que queremos obtener el producto de 37694287 y 98542.

Tomando como referencia el ejemplo anterior, hacemos lo siguiente:

1. Obtenemos los productos parciales de 37694287 por cada uno de los dígitos de 98542.
2. Colocamos adecuadamente los productos obtenidos en el paso 1 y sumamos.
Con esto obtenemos el producto buscado.

Fig. I. 12. Usando el ábaco neperiano para obtener el producto 37694287 por 98542.

Usando este instrumento, se pueden calcular los productos de números de una gran cantidad de cifras siempre y cuanto se cuente las varillas necesarias para hacerlo.

División

Para explicar la división usaremos el siguiente ejemplo: Supongamos que queremos dividir 39705397 entre 76953.

Fig. I. 13. Ejemplo de división usando el ábaco neperiano.

El procedimiento se ilustra gráficamente en la Fig. I. 13. Ponerlo en palabras no resulta tan sencillo, mi intento es el siguiente:

1. Mediante el ábaco neperiano calculamos el producto del divisor — 76953 — con cada uno de los dígitos del 1 al 9. Obtenemos 9 productos a los cuales podemos llamar productos parciales.
2. Exploramos el dividendo — 39705397 — de izquierda a derecha hasta encontrar el primer conjunto de dígitos que formen un número mayor que el divisor, por el momento discriminamos los dígitos restantes.
En esta ocasión el número del que hablamos resulta ser 397053.
3. Dentro de los productos parciales seleccionamos aquel que sea menor y más cercano al número encontrado en el paso 2.
En el caso que nos ocupa es: 384765.
4. Escribimos en el cociente el dígito por el que está multiplicado el divisor para dar el número hallado en el paso 3. Este dígito es más significativo que los que se hallen en las siguientes etapas de la solución.
En nuestro ejemplo, el dígito más significativo del cociente es 5 ya que 76953 x 5 = 384765.
5. Tomando como minuendo el número encontrado en el paso 2 y como sustraendo el hallado en el paso 3 realizamos la sustracción indicada.
En nuestro problema esta operación queda así: el sustraendo es 397053, el minuendo 384765 y la diferencia 12288.
6. A la diferencia obtenida en el paso 5, le agregamos a la derecha el dígito que se encuentra más a la izquierda de aquellos que se discriminaron en el paso 2.
Nuestro nuevo número resulta ser 122889.
7. Si el número hallado en el paso 6 es menor que el divisor se escribe un cero en la parte derecha del cociente y se agrega a nuestro número otro más de los dígitos discriminados.
8. Con las adecuaciones pertinentes, se ejecuta repetidamente el proceso desde el paso 2, hasta que hayamos incluido todos los dígitos discriminados.
En este punto ya habremos encontrado nuestro cociente y nuestro residuo.

Ábaco de fichas

Además del ábaco descrito arriba, Neper también inventó otro ábaco de fichas que es una ampliación del anterior.

En el Museo Arqueológico Nacional de España se conserva un instrumento que reúne ambos ábacos: el de varillas (descrito anteriormente) y el de fichas.

Él ábaco de fichas está constituido por 300 fichas de marfil con pequeñas perforaciones triangulares que solo permiten ver las cifras convenientes del ábaco de varillas. Con este aparato se pueden realizar multiplicaciones de números de hasta doscientas cifras en cada uno de los factores.

Fig. I. 14. Ábacos neperianos conservados en el Museo Arqueológico Nacional de España.

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La calculadora de Leonardo da Vinci

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Leonardo da Vinci (1452-1519) fue un genio universal, símbolo del hombre del renacimiento ya que fue pintor, científico, ingeniero, inventor, anatomista, escultor, arquitecto, urbanista, botánico, músico, poeta, filósofo y escritor.

Fig. I. 5. Leonardo da Vinci (autorretrato).

Combinó exitosamente el arte y la ciencia dejando alrededor de 13,000 páginas de textos y dibujos detallados en donde expone sus ideas, muchas de las cuales, son consideradas muy adelantadas para su época.

Imaginó máquinas tales como el helicóptero, el submarino y el automóvil, desgraciadamente, la mayoría de sus proyectos no llegaron a construirse debido a que en su época no se contaba con los adelantos técnicos necesarios para llevarlos a la práctica.

En 1967 se hallaron dos manuscritos inéditos de Leonardo da Vinci, en ellos, describe una máquina de sumar. Este es el primer diseño conocido, de una máquina de calcular mecánica.

Fig. I. 6. Diseño de una máquina de sumar hecho por Leonardo da Vinci.

En 1968 el doctor Roberto Guatelli, gran conocedor de la obra de Leonardo y especializado en reproducciones reales de sus dibujos, fabricó la máquina descrita en dichos documentos.

Fig. I. 7. Reproducción mecánica del diseño de la figura Fig. I. 6.

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El ábaco

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El ábaco es el instrumento de cálculo más sencillo y antiguo que ha usado la humanidad para facilitarse la realización de operaciones aritméticas sencillas como sumas, restas y multiplicaciones.

Se calcula que existe desde hace aproximadamente 5,000 años, aunque, no es posible determinar con precisión ni su antigüedad ni su origen pues, existen vestigios arqueológicos que demuestran que desde tiempos muy antiguos, diferentes culturas ya usaban dispositivos que eran su propia versión del ábaco.

Probablemente su inicio fue como una superficie plana en el suelo en la que el hombre primitivo dibujaba surcos en la arena sobre los que deslizaba piedras. Con el paso del tiempo y gracias a los avances en la técnica, en cada civilización fueron evolucionando los diseños pero conservando su finalidad principal. En su forma moderna, el ábaco consiste en un marco al que están fijados un conjunto de alambres o rodillos de madera sobre los que se deslizan cuentas que sirven para representar las unidades, decenas, centenas, millares, decenas de millar, etc.

Fig. I. 1. El ábaco chino o Suan Pan.

Fig. I. 2. El ábaco ruso o Schoty.

Se han encontrado evidencias físicas de que en la antigüedad, el ábaco fue usado por sumerios, egipcios, babilonios griegos y romanos.

Durante la edad media fue ampliamente usado por los mercaderes del mundo árabe y toda Europa, pero, en esta última, su uso fue decreciendo paulatinamente hasta casi desaparecer después de que a principios del siglo XIII se difundieron en este continente los métodos de cálculo con números indo-arábicos.

En otras partes del mundo como el medio oriente, Rusia, China y Japón, se siguió empleando con regularidad.

El poder de cálculo del ábaco (usado con destreza) es muy grande, un hecho que así lo demuestra, ocurrió en Japón en noviembre de 1945. Resulta que el periódico del ejército de los Estados Unidos intentando demostrar la supuesta superioridad de los moderno métodos de cálculo occidentales con respecto a los tradicionales japoneses, organizó un enfrentamiento entre el campeón de Soroban (ábaco japonés) y un soldado del ejército de ocupación experto en el uso de la calculadora electromecánica, de un total de 5 pruebas, el japonés salió vencedor en 4, considerándose este evento una revancha intelectual de los vencidos.

Fig. I. 3. El ábaco japonés o Soroban.

Aunque se ha reducido su uso, aún sigue encontrando aplicación, ejemplos de ello son los siguientes: se le usa en las salas de billar para contar los tantos durante las partidas y, también en las escuelas de nivel básico, para que los niños aprendan las operaciones aritméticas elementales.

Fig. I. 4. Ábaco de billar

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